Иррациональные уравнения

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);
2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Основные свойства иррациональных уравнений

1. Любой корень четной степени являются арифметическими, т.е. подкоренные выражения всегда неотрицательны и принимают только неотрицательные значения.

2. Любой корень нечетной степени определен при всех значениях подкоренного выражения и могут принимать любые значения.

3. Уравнение √(f(x)) = g(x) равносильно системе (здесь и далее под записью √(f(x)) будем понимать корень квадратный из выражения, стоящего в скобках):

{f(x) = (g(x))2,
{g(x) ≥ 0.

Какими способами можно решать иррациональные уравнения?

1. Возвести обе части уравнения в одну и ту же степень.

2. Заменой переменной.

3. Способом умножения обеих частей на одинаковые выражения. 

4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.