
Профориентационное образовательное мероприятие "Горизонты Образования" в образовательных учреждениях городов Петрозаводск и Мурманск
Университет мировых цивилизаций им. В.В. Жириновского
Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С.М. Кирова (СПбГЛТУ)
Институт правоведения и предпринимательства Университета при МПА ЕврАзЭС
Справочник
Теорема Безу
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на многочлен
- это
.
Коэффициенты многочлена лежат в неком коммутативном кольце с единицей (к примеру, в поле
вещественных либо комплексных чисел).
Теорема Безу - доказательство.
Делим с остатком многочлен P(x) на многочлен (x-a):
Исходя из того, что deg R(x) <
deg (x-a) = 1 - многочлен степени не выше нуля. Подставляем
, так как
, получаем
.
Но наиболее важна не именно теорема, а следствие теоремы Безу:
1. Число - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен
x-a.
Исходя из этого – множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего
уравнения x-a.
2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами
(когда старший коэффициент равен единице – все рациональные корни целые).
3. Предположим, что - целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами.
Значит, для любого целого число
делится на
.
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень
которого уже на 1 меньше: если , то данный многочлен P(x) будет выглядеть так:
Т.о., один корень найден и дальше находят уже корни многочлена , степень которого на 1 меньше
степени начального многочлена. Иногда таким методом - называется понижением степени - находят все
корни данного многочлена.
Теорема Безу примеры:
Найти остаток от деления многочлена на двучлен
.
Теорема Безу примеры решения:
Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке . Тогда найдем
, для этого значение
подставляем в выражение для многочлена
вместо
. Получаем:
Ответ: Остаток = 5.