Теорема Безу

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена  на многочлен  - это  .

Коэффициенты многочлена лежат в неком коммутативном кольце с единицей (к примеру, в поле

вещественных либо комплексных чисел).

Теорема Безу - доказательство.

Делим с остатком многочлен P(x) на многочлен (x-a):

Исходя из того, что  deg R(x) < deg (x-a) = 1 -  многочлен степени не выше нуля. Подставляем

, так как , получаем .

Но наиболее важна не именно теорема, а следствие теоремы Безу:

     1. Число  - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен

x-a.

Исходя из этого – множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего

уравнения x-a.

     2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами

(когда старший коэффициент равен единице – все рациональные корни целые).

     3. Предположим, что  - целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами.

Значит, для любого целого  число  делится на .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень

которого уже на 1 меньше: если , то данный многочлен P(x) будет выглядеть так:

Т.о., один корень найден и дальше находят уже корни многочлена , степень которого на 1 меньше

степени начального многочлена. Иногда таким методом - называется понижением степени - находят все

корни данного многочлена.

Теорема Безу примеры:

Найти остаток от деления многочлена  на двучлен .

Теорема Безу примеры решения:

Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке . Тогда найдем

, для этого значение  подставляем в выражение для многочлена  вместо . Получаем:

Ответ: Остаток = 5.